திசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

எந்தவொரு இரண்டு அல்லாத கோலீனியர் மற்றும் நன்ஜெரோ திசையன்களிலும், ஒரு இணையான வரைபடத்தை உருவாக்க முடியும். இந்த இரண்டு திசையன்களும் ஒரு கட்டத்தில் அவற்றின் தோற்றத்தை இணைத்தால் ஒரு இணையான வரைபடத்தை சுருக்கிவிடும். உருவத்தின் பக்கங்களை முடிக்கவும்.

வழிமுறை கையேடு

1

திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் வழங்கப்பட்டால் அவற்றின் நீளத்தைக் கண்டறியவும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் A விமானத்தில் ஆயத்தொலைவுகள் (a1, a2) இருக்கட்டும். திசையன் A இன் நீளம் | A | = √ (a1² + a2²). இதேபோல், திசையன் B இன் தொகுதியைக் காண்கிறோம்: | B | = √ (b1² + b2 b), இங்கு b1 மற்றும் b2 ஆகியவை விமானத்தில் உள்ள திசையன் B இன் ஆயத்தொலைவுகள்.

2

இணையான வரைபடம் S = | A | • | B | • பாவம் (A ^ B) என்ற சூத்திரத்தால் காணப்படுகிறது, இங்கு A ^ B என்பது கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் A மற்றும் B க்கு இடையிலான கோணமாகும். அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி கொசைன் மூலம் சைனைக் காணலாம்: sin²α + cos²α = 1. ஆயத்தொகுதிகளில் எழுதப்பட்ட திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் அடிப்படையில் கொசைனை வெளிப்படுத்தலாம்.

3

ஒரு திசையன் B இன் திசையன் A இன் அளவிடல் தயாரிப்பு (A, B) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. வரையறையின்படி, இது (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B) க்கு சமம். ஆயத்தொகுதிகளில், அளவிடுதல் தயாரிப்பு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. இங்கிருந்து நாம் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனை வெளிப்படுத்தலாம்: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). எண்ணிக்கையில், அளவிடுதல் தயாரிப்பு; வகுப்பில், திசையன்களின் நீளம்.

4

இப்போது நாம் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து சைனை வெளிப்படுத்தலாம்: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணம் கடுமையானது என்று நாம் கருதினால், சைனுடனான கழித்தல் நிராகரிக்கப்படலாம், மேலும் பிளஸ் அடையாளத்தை மட்டுமே விட்டுவிடலாம், ஏனெனில் கடுமையான கோணத்தின் சைன் மட்டுமே நேர்மறையாக இருக்க முடியும் (அல்லது பூஜ்ஜிய கோணத்தில் பூஜ்ஜியம், ஆனால் இங்கே கோணம் பூஜ்ஜியமற்றது, இது நிலையில் காட்டப்படும் திசையன்களின் noncollinearity).

5

இப்போது நாம் சைன் சூத்திரத்தில் கொசைனுக்கான ஒருங்கிணைப்பு வெளிப்பாட்டை மாற்ற வேண்டும். இதற்குப் பிறகு, இணையான வரைபட பகுதி சூத்திரத்தில் முடிவை எழுதுவது மட்டுமே உள்ளது. இவை அனைத்தும் செய்யப்பட்டு எண் வெளிப்பாடு எளிமைப்படுத்தப்பட்டால், அது S = a1 • b2-a2 • b1 என்று மாறிவிடும். ஆக, A (a1, a2) மற்றும் B (b1, b2) திசையன்களில் கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு S = a1 • b2-a2 • b1 சூத்திரத்தால் காணப்படுகிறது.

6

இதன் விளைவாக வெளிப்படுவது A மற்றும் B திசையன்களின் ஆயக்கட்டுகளால் ஆன மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான்: a1 a2b1 b2.

7

உண்மையில், பரிமாண இரண்டின் மேட்ரிக்ஸை நிர்ணயிப்பதற்கு, நாம் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் (a1, b2) கூறுகளை பெருக்கி, இதிலிருந்து பக்க மூலைவிட்டத்தின் (a2, b1) உறுப்புகளின் உற்பத்தியைக் கழிக்க வேண்டும்.